Principe de la démonstration par descente infinie

La démonstration par descente infinie est une méthode de preuve par l'absurde qui utilise le fait que possède un plus petit élément, le 0.

Grosso modo il s'agit de montrer que on a une propriété vraie à un rang n dans et que cela implique qu'elle est vrai au rang n-1. Ainsi de suite, en descendant de plus en plus, on arrive à un un rang n-p tel que n-p<0, ce qui est absurde vus que on est dans .


Exercice corrigé :

Prérequis : si p² est pair (resp impair) alors p est pair (resp impair).

On cherche à démontrer que 2 est irrationel, pour cela on suppose qu'il existe p et q dans tel que 2=p/q avec q différent de 0, comme 2>1, donc p>q. On en déduit donc que p²=2q², donc p² est pair, ce qui implique que p soit pair. Si p est pair alors il existe p1 tel que p=2p1, donc : p²=(2p1)²=4p1²=2q, donc q=2p1². De la même manière que précedement, on a q pair, donc il existe q1 tel que q=2q1, en remplacant : p1²=2q1², on voit immédiatement que :
q1<p1<q<p

On peut créer une suite de pn et de qn tel que :

qn<pn<qn-1<pn-1<...<q1<p1<q<p

donc il existe toujours 2 élément pn<p et qn<q tel que pn/qn= 2, et on peut en trouver une infinité, ce qui est absurde vus que dans l'intervalle [0;p] et [0;q] il y a un nombre finis d'élément.